Курсовая Вписанные и описанные многоугольники, номер: 132483

"Введение 3
1. Понятие вписанных и описанных многоугольников 5
1.1. Вписанные и и описанные треугольники 5
1.2. Вписанные и описанные четырехугольники 6
1.3. Вписанные и описанные многоугольники 8
2. Теоремы и свойства вписанных и описанных многоугольников 10
2.1. Свойства вписанных и описанных многоугольников 10
2.2. Теоремы о вписанных и описанных многоугольниках 12
3. Практическое применение свойств и теорем вписанных и описанных многоугольников 23
Заключение 46
Список литературы 47

3. Практическое применение свойств и теорем вписанных и описанных многоугольников
Все задачи будут дифференцироваться по степени сложности по шкале от 1 до 6, и по классам:
Задача 1(Сложность: 4 , Классы: 8,9)
Из точки O , лежащей внутри выпуклого n -угольника A1A2 An , проведены отрезки ко всем вершинам: OA1 , OA2 , , OAn . Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n -угольника – острые, причём
OA1An OA1A2, OA2A1 OA2A3, , OAn-1An-2 OAn-1An,
OAnAn-1 OAnA1.
Докажите, что O – центр окружности, вписанной в n -угольник.

Задача 2(Сложность: 4+ , Классы: 8, 9)
Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.

Задача 3(Сложность: 4+ , Классы: 8, 9)
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки M окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго.

Задача 4(Сложность: 5 , Классы: 9)
На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?

Задача 5(Сложность: 5 , Классы: 9)
Два n-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.

Задача 6(Сложность: 5 , Классы: 9)
В 2n-угольнике (n нечетно) A1...A2n, описанном около окружности с центром O, диагонали A1An + 1, A2An + 2,..., An - 1A2n - 1 проходят через точку O. Докажите, что и диагональ AnA2n проходит через точку O.

Задача 7(Сложность: 5+ , Классы: 9)
Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.

Задача 8(Сложность: 6 , Классы: 9)
Положительные числа a1,..., an таковы, что 2ai < a1 + ... + an при всех i = 1,..., n. Докажите, что существует вписанный n-угольник, длины сторон которого равны a1,..., an.

Задача 9(Сложность: 3 , Классы: 8, 9)
В выпуклом пятиугольнике ABCDE извествно, что A = B = D= 90o . Найдите угол ADB , если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.

Задача 10(Сложность: 4-, Классы: 8, 9)
В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что A = C = E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Задача 11(Сложность: 4 , Классы: 8, 9)
Существует ли пятиугольник со сторонами 3, 4, 9, 11 и 13 см, в который можно вписать окружность?

Задача 12(Сложность: 4, Классы: 8, 9)
Семиугольник, три угла которого равны по 120o , вписан в окружность. Могут ли все его стороны быть различными по длине?

Задача 13(Сложность: 4+ , Классы: 8, 9)
Дан вписанный 2n-угольник с углами , , ..., . Докажите, что
+ +...+ = + +...+ .
Верно ли обратное?
Подсказка
Композиция двух симметрий относительно пересекающихся осей есть поворот на угол, равный удвоенному углу между этими осями.

Задача 14(Сложность: 6 , Классы: 8, 9, 10)
Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

Задача 15 (Сложность: 5, Классы: 9,10,11)
Докажите:
а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Задача 16 (Сложность: 6 - , Классы: 9,10,11)
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Задача 17 (Сложность: 4 - , Классы: 8, 9)
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найдите её длину, если BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE, площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, а 3AC + 2BD = 5 .

Задача 18 (Сложность: 4, Классы: 8, 9, 10)
В окружность вписан выпуклый шестиугольник ABCDEF, диагонали AD, BE, CF которого пересекаются в одной точке. Докажите, что AB•CD•EF=BC•DE•FA.

Задача 19 (Сложность: 4+, Классы: 8, 9, 10)
Каждую сторону выпуклого четырёхугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся восемь точек – внешние концы построенных отрезков – различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.

Задача 20 (Сложность: 5+, Классы: 8, 9, 10, 11)
Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в чёрный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества чёрных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными коэффициентами подобия)?

Задача 21 (Сложность: 5+, Классы: 8, 9, 10, 11)
В шестиугольнике ABCDEF AB=BC , CD=DE , EF=FA и A= C= E . Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.
"