Контрольная Линейные математические модели 3 задачи, номер: 299068

"«Линейные математические модели» по дисциплине «Математика»
Задача 1
Записать задачу в математической форме, указав экономический смысл вводимых переменных
Для выращивания порции овощей по способу гидропоники необходимо не менее 20 кг питательной смеси, содержащей более 1% фосфора, 1.5% азота, 2% калия и 0.01% различных микроэлементов и не более 1.5% фосфора, 2% азота, 5% калия и 0.03% микроэлементов. Для составления питательной смеси используют 4 вида удобрений. Содержание указанных питательных веществ в 1 кг удобрения первого вида составляет 20, 0, 10, 0 г соответственно, второго – 20, 10, 60, 0.4 г, третьего – 10, 50, 10, 0.5 г, четвертого – 10, 20, 30, 0.2 г. Стоимость 1 кг удобрения каждого вида составляет 7, 6, 8 и 10 рублей соответственно. Сколько килограммов удобрений каждого вида надо взять, чтобы приготовить питательную смесь нужного состава при ее минимальной стоимости?
Задача 2
Для задачи линейного программирования выполнить следующие действия.
a. Записать задачу в матричной форме.
b. Записать каноническую задачу.
c. Решить задачу геометрически.
d. Найти начальный базисный план с помощью искусственных переменных.
e. Решить задачу симплекс-методом.
f. Написать двойственную задачу к данной задаче в матричной и развернутой форме.
g. Найти решение двойственной задачи и доказать его оптимальность с помощью теоремы двойственности.
max( x1 + 3x2)
x1 + x2 ≥ 1,
{ x1 + x2 ≤ 5,
4x1 + x2 ≤ 8.
x1, x2 ≥ 0
Задача 3
Имеется m складских помещений (пунктов отправления) A1, A2, …, Am, в которых сосредоточены запасы груза в количествах a1, a2, …, am единиц соответственно, и n пунктов назначения B1, B2, …, Bn, подавших заявки соответственно на b1, b2, …, bn единиц указанного груза. Известна тарифная матрица C, в которой ci,j – стоимость перевозки одной единицы груза из склада Ai в пункт назначения Bj ( i = 1, m; j = 1, n). Найти план перевозок, учитывающий запасы груза на складах и объемы заявок пунктов назначения, имеющий наименьшую общую стоимость. Исходные данные задачи занесены в следующую таблицу.
пн
пп B1 B2 B3 B4 B5 Запасы
A1 2 1 3 2 9 20
A2 5 2 3 1 4 40
A3 1 10 2 1 5 45
A4 3 4 1 1 8 75
Заявки 50 5 17 90 18 180

a. Построить математическую модель организации перевозок: записать оптимизационную задачу, дать экономическую интерпретацию вводимых переменных.
b. Записать двойственную задачу, к построенной задаче линейного программирования.
c. Составить начальный план перевозок по методам северо-западного угла и наименьшей стоимости. Укажите стоимости перевозок по этим планам.
d. Найти оптимальный план задачи по методу потенциалов и доказать его оптимальность по теореме двойственности."