Контрольная Задачи нелинейного программирования. Базовые постановки задач линейного программирования (4 задания), номер: 265675

Задание 1
Найти все локальные экстремумы следующих функций. Существует ли глобальный экстремум данной функции на всем множестве ее определения? Если да, найти его. Ответ обосновать.
а) ;
б) .
Задание 2
Изобразить множество допустимых решений и проверить выполнение условий теоремы Вейерштрасса о существовании глобального максимума. Если теорема Вейерштрасса не применима, указать, какие условие не выполняются. Определить существует ли решение задачи?

Задание 3
Методом Лагранжа найти локальные условные экстремумы следующих функций. Определить, выполняются в данных задачах условия теоремы Вейерштрасса. Найти глобальные экстремумы, если они существуют, или обосновать их отсутствие. Оценить насколько изменятся значения функций в точках экстремума, если константы в правых частях условия связи увеличатся на 0,01.
а) при ;
б) при .
Задание 4
Даны следующие экономические проблемы:
4.1. Для производства сплава олова со свинцом заводу необходима ежедневная выработка не менее 3 т олова и 5 т свинца. Завод имеет возможность заключать договора с тремя горнодобывающими фирмами. Первая фирма добывают руду, содержащую 5% олова и 10% свинца, и готова поставлять руду по $12 за тонну. Вторая фирма добывает руду, содержащую 8% олова и 12% свинца, и готова поставлять руду по $15 ш тонну. Третья фирма добывает руду, содержащую 12% олова и 14% свинца, и готова поставлять руду по $18 за тонну. Найти оптимальный план закупок талоном руды в этих фирмах, минимизирующий стоимость закупки необходимого количества сырья, а также определить минимальную стоимость закупки.
4.2. Цех выпускает трансформаторы трех видов. На один трансформатор первого вида расходуется 3 кг трансформаторною железа и 3 кг проволоки. На один трансформатор второго вида расходуется 6 кг трансформаторною железа и 4 кг проволоки. На один трансформатор третьего вила расходуется 2 кг трансформаторного железа и 3 кг проволоки. От реализации трансформаторов цех получает прибыль соответственно в $15, $22 и $13. Сколько трансформаторов каждою вида должен выпустить цех, чтобы получить наибольшую сумму прибыли, если цех располагает 555 кг трансформаторного железа и 600 кг проволоки? Чему равна наибольшая сумма прибыли?
Составить математические модели задач и решить задачи аналитически. Дать экономическую интерпретацию решения.