Контрольная Зачетное задание № 6 логика, номер: 354384

Задача 6.1.
На множестве N задан предикат A(x,y):"xy=yx"
А)Найдите значения истинности этого предиката при х=1, у=2; х=5, у=8; х=64, у=100.
Б)Можно ли на основании полученных в пункте а) ответов утверждать, что для любого натурального числа верно равенство xy=yx? Ответ поясните.

Задача 6.2.
На множестве N задан предикат C(n):"(n^2+1)*3"
А)Найдите значения истинности этого предиката при n=1, n=2, n=3, n=4.
Б)Можно ли на основании полученных в пункте а) ответов утверждать, что высказывание ∃n∈N) C(n) ложно? Почему?

Задача 6.3.
Докажите или опровергните следующие утверждения:
А) некоторые целые числа кратны 5;
Б) сумма любых пяти последовательных натуральных чисел кратна пяти.

Задача 6.4.
На множестве Х={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,} заданы предикаты P(x) и Q(x). Определите множества истинности предикатов P(x) V Q(x); P(x) ∩ Q(x); ¯(P(x) ); ¯(Q(x)); P(x)=> Q(x);
P(x)<=>Q(x)
И изобразите их на диаграмме Эйлера. Укажите, где возможно, какой из предикатов логически следует из другого и разными способами сформулируйте импликацию предикатов, используя термины «необходимое условие», «достаточное условие».
Р(x):"x" ^"2" "+4x=0 " и Q(x):"х кратно 2"
Р(x):"x" ^"2" "-4x=0 " и Q(x):"х кратно 4"
Р(x):"x+2>0 " и Q(x):"(x-3)(x-4)=0"
Р(x):"2x-3<3 " и Q(x):"4x-7≥5"
Р(x):"x*3\" " и Q(x):"x*9"

Задача 6.5.
На множестве Z заданы предикаты D(x): "x - делитель числа 12" E(x):"x -…делитель числа 36".
А)Докажите, что предикат Е(х) следует из предиката D(x) на этом множестве.
Б)Сформулируйте при помощи слов «любой», «достаточно», «необходимо» высказывание: “предикат Е(х) следует из предиката D(x)”.

Задача 6.6.
Выясните, равносильны ли следующие теоремы: «Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы в нем были равны хотя бы два угла» и «В любом неравнобедренном треугольнике никакие два угла не равны между собой». Если нет, то сформулируйте для каждой теоремы равносильную ей.

Задача 6.7.
Дана теорема: «В любом ромбе диагонали взаимно перпендикулярны».
А)Сформулируйте данную теорему с помощью слов «следует», «необходимо», «достаточно».
Б)Выяснить, равносильна ли данной теореме теорема» Для того, чтобы четырехугольник не был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали не были взаимно перпендикулярны»?

Задача 6.8.
Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное высказывание. Сформулируйте высказывание, используя слова «если…, то …». Составьте по данной импликации еще три импликации и определите значения истинности.
А) Для того, чтобы два угла были смежными,...................., чтобы сумма величин этих углов была равна 180.
Б) Для того, чтобы натуральное число делилось на 15,..............................................., чтобы оно делилось на 5.
В)Для того, чтобы четырехугольник был ромбом,......................................, чтобы он был параллелограммом.
В) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником,................................................., чтобы он был параллелограммом.

Задача 6.9.
Какие из следующих теорем истинны? Какие из них являются по отношению друг к другу обратными, противоположными, противоположными обратной?
А)Если каждое слагаемое делится на 7, то сумма делится на 7.
Б) Если ни одно из слагаемых не делится на 7, то и сумма не делится на 7.
В) Если сумма делится на 7, то и каждое слагаемое делится на 7.
Г) Если сумма не делится на 7, то каждое слагаемое не делится на 7.
Д) Если хотя бы одно слагаемое делится на 7, то и сумма делится на 7.
Е) Если сумма не делится на 7, то хотя бы одно слагаемое не делится на 7.

Задача 6.10.
Приведите доказательства не менее трех теорем методом:
а) от противного;
б) контрапозиции.